2º Ano Ensino Médio - Noturno - Contagem e Análise de Dados.

Atividades

1 — Forme todas as permutações dos algarismos 1, 2, 3. 

2 — Forme todas as permutações das letras a, b, c, d. 

3 — Forme todas as permutações dos símbolos +, +, — e —. 

4 — Forme todos os anagramas da palavra BETE. 

5 — Forme todos os anagramas da palavra AZUL que começam pela letra Z. 

6 — Forme todos os anagramas da palavra PAPAI que começam e terminam por vogal. 

7 — Escreva todos os números ímpares de quatro algarismos não repetidos, formados pelos algarismos 1, 2, 3 e 4. 

Quantidade de Permutações 

Nas aplicações, geralmente, estamos interessados na quantidade de permutações que podem ser formadas com determinados elementos. Para isso, nem sempre é viável que façamos uma por uma, como nas atividades anteriores. Então, como podemos proceder? 

Exemplo: 

1 — Quantos são os anagramas da palavra “calor”? 

O que é fatorial? 

O fatorial de um número inteiro positivo n, representado por n!, é definido da seguinte forma:

n!={1,se n=1 n×(n-1)!,se n>1 

Isso é o que chamamos de uma definição por recursividade, isto é, para definir o valor do fatorial de um número, precisamos conhecer o valor do fatorial do seu antecessor. 

Por exemplo, vejamos o caso de 5! 

5!=5×4!=5×4×3!=5×4×3×2!=5×4×3×2×1!=5×4×3×2×1=120 

Note que, ao final, o valor de 5! é dado pelo produto de todos os números inteiros positivos de compreendidos de 1 a 5. 

Pela definição dada, temos ainda que: 

4!=4×3!=4×3×2!=4×3×2×1!=4×3×2×1=24 

3!=3×2!=3×2×1!=3×2×1=6 

2!=2×1!=2×1=2 

1!=1,por definição. 

Note que, pela definição dada, não se estende ao 0, ou seja, a definição dada não nos diz como definir 0!. Entretanto, será bastante útil atribuir um valor para 0! de maneira a simplificar as fórmulas que futuramente serão introduzidas. Com esse objetivo, convenciona-se que  

Exemplo: 

2 — Quantos são os anagramas da palavra BRASIL? Cada anagrama corresponde a uma permutação das letras B, R, A, S, I e L. Como temos 6 letras distintas, o número de anagramas é: 

P6 = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 

3 — Quantos são os anagramas da palavra “calor” que começam por consoante? 

Para formar um anagrama começado por consoante devemos, primeiramente, escolher a consoante (3 modos) e, depois, arrumar as quatros letras restantes em seguida à consoante (4! = 24 modos). Há, portanto, 3 × 24 = 72 anagramas começados por consoante..

ATIVIDADES

1 — Determine quantas permutações podem ser formadas com as letras de cada palavra. 

a) ORDEM 

b) DOMINAR 

c) CINEMA 

2 — De quantos modos podemos arrumar, em fila, 5 livros diferentes de Matemática, 3 livros diferentes de Estatística e 2 livros diferentes de Física, de maneira que, livros de uma mesma matéria permaneçam juntos? 

Solução: Podemos escolher a ordem das matérias de 3! modos. Feito isso, há 5! modos de colocar os livros de Matemática nos lugares que lhe foram destinados, 3! modos para os de Estatística e 2! modos para os de Física. A resposta é 3! 5! 3! 2! = 6 × 120 × 6 × 2 = 8 640. 

3 — Considerando os anagramas da palavra ALUNO, responda ao que se pede. 

a) Quantos começam por vogal? 

b) Quantos começam por vogal e terminam por consoante? 

c) Quantos começam e terminam por consoante? d) Quantos apresentam as vogais AUO juntas nesta ordem? Neste modelo, pense que as vogais (AUO) formam um bloco que deve ser considerado como uma letra, pois não poderá mudar a ordem. Assim, passamos a considerar que a palavra tem 3 letras. Então o número de anagramas é P3 = 3! = 6. 

e) Quantos apresentam as vogais juntas, porém em qualquer ordem? 

4 — Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO” 

a) que podemos formar? 

b) que começam e terminam por vogal? 

c) que têm as letras C, A e P juntas, nessa ordem? 

d) que têm as letras C, A e P juntas, em qualquer ordem? 

e) que têm a letra P, em primeiro lugar, e a letra A , em segundo?