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COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO  Utilizamos a combinação com repetição quando a ordem dos elementos do evento não importa, porém, podemos escolher cada elemento mais de uma vez.  Definição.  Considere um conjunto de n elementos diferentes.  Denominamos por combinação com repetição de n elementos diferentes tomados p a p a todo agrupamento formado por p elementos, iguais ou distintos, escolhidos dentre os n  elementos dados, de modo que a ordem dos elementos não modifique a combinação. Exemplo :  Uma loja decide sortear para os clientes 3 pares de sapatos das 10 melhores marcas do mercado. De quantas formas o ganhador do prêmio pode escolher os três pares de sapatos da lista das 10 melhores marcas, sendo permitidas repetições?  Resolução.  Temos os seguintes dados:  • n: 10 marcas;  • p: 3 pares de sapatos. ATIVIDADES  01 – Determinar o número de combinações com repetição de 4 objetos tomados 2 a 2.  02 – Um supermercado...

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO   ATIVIDADES  01 – Quantos anagramas têm as palavras:  a) MACA.  b) ARITMÉTICA.  c) PARALELEPÍPEDO.  02 – Determine, em cada caso, a quantidade de números distintos que podemos obter permutando os algarismos que formam os seguintes números:  a) 45 241.  b) 654 254.  c) 154 445.  03 – Os 10 primeiros algarismos que formam o número π (desconsiderando a vírgula) na ordem em que aparecem, formam o número 3141592653. Quantos são os números distintos que podemos formar por meio de permutações destes 10 algarismos?  04 – De quantas maneiras oito pessoas podem se organizar em uma roda para fazer uma oração?  05 – De quantas maneiras sete crianças podem se organizar para brincar de roda?

Combinações 02 – (Banco do Simave) Cada situação abaixo envolve agrupamentos que podem ou não ser distinguíveis pela ordem de seus elementos. Classifique com S o agrupamento que se altera ao modificar a ordem de seus elementos e, em caso contrário, com N.  I. Formar números inteiros positivos de quatro algarismos distintos.  II. Escolher duas calças entre 12 calças de cores diferentes.  A classificação correta é  A) I: S e II: N.  B) I: S e II: S.  C) I: N e II: N.  D) I: N e II: S.  03 – (Banco do Simave) Considere os três problemas seguintes.  • Problema I: Com os 10 trabalhadores de uma fábrica, quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas?  • Problema II: Usando-se 8 pessoas, quantas filas com 5 pessoas podem ser formadas?  • Problema III: Quantos números com 3 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos de 1 a 9?  Em quais desses problemas os agrupamentos considerados são di...

Dado um conjunto de n elementos, chama-se permutação simples dos n elementos qualquer sequência (agrupamento ordenado) desses n elementos.  Quantidade de Permutações  Nas aplicações, geralmente estamos interessados na quantidade de permutações que podem ser feitas com determinados elementos. Para isso, nem sempre é viável que listemos uma por uma como feito acima. Então, como podemos proceder?  Exemplo: ATIVIDADES  01 – Determine o número de permutações que podem ser feitas com as letras de cada palavra a seguir.  a) ESCOLA  b) CINEMA  c) LIVRO  02 – Considerando os anagramas da palavra BANCO,  a) quantos começam por vogal?  b) quantos começam por vogal e terminam por consoante?  c) quantos começam e terminam por consoante?  d) quantos apresentam as vogais AO juntas nesta ordem?  e) quantos apresentam as vogais juntas, porém em qualquer ordem? 03 – Quantos são os arranjos de 7 elementos, tomados 4 a 4? 05 – (Banco do Simav...

 Probabilidade da União de Dois Eventos.  Vamos analisar a situação apresentada abaixo. ATIVIDADES

 Exemplos.  1 — Pretende-se fazer anagramas da palavra abaixo. ATIVIDADES 1 — Considere a palavra LIVROS .  a) Quantos anagramas podemos formar?  b) Quantos anagramas podemos formar que começam pela letra L?  c) Um anagrama é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade desse anagrama começar com a letra L?  2 — Um anagrama formado da palavra PERNAMBUCO é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de começar com vogal? 3 — Considere as letras da palavra LOTERIA . Duas dessas letras são escolhidas ao acaso. Qual é a probabilidade de: a) serem duas vogais?  b) uma ser vogal e a outra ser consoante?  4 — Num grupo de 12 pessoas, constituído por 7 homens e 5 mulheres, deseja-se sortear 4 pessoas. Qual é a probabilidade de que sejam 2 homens e 2 mulheres?  5 — Uma urna contém quatro bolas azuis e seis bolas brancas. Retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas dessas bolas. Qual é a probabilidade de que as duas bolas sejam brancas?  6 — Cinco p...

A noção de probabilidade é intuitiva, vamos analisar a situação apresentada abaixo. ATIVIDADES

Nesta semana, você aprenderá a identificar e diferenciar um espaço amostral de um evento, que é fundamental na resolução de problemas que envolvam probabilidades.  Para começar a nossa aprendizagem precisamos definir e entender alguns termos.  1 — Experimento Aleatório: é todo acontecimento cujo resultado depende apenas do acaso, ou seja, acontecimento desse tipo, quando repetido nas mesmas condições, pode ter resultados diferentes e essa inconstância é atribuída ao acaso. Exemplos:  • A retirada de uma carta de um baralho comum e observar o seu naipe.  • O lançamento de uma moeda, no qual se considera apenas a face que ficar voltada para cima.  • O sorteio de um bilhete de um total de 20 bilhetes numerados de 1 a 20. • O lançamento de um dado, no qual se considera apenas a face que ficar voltada para cima.  2 — Espaço amostral : é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Representaremos o espaço amostral pela letra ômega V ...

1 — (ENEM 2014) Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes relacionadas à venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatos com defeito e fizeram um estudo estatístico com intuito de reclamar com o fabricante.  A tabela contém a média, a mediana e a moda desses dados anotados pelos donos. Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca pelo número 0 e a cor preta pelo número 1. Sabe-se que a média da distribuição desses zeros e uns é igual a 0,45.  Os donos da loja decidiram que a numeração dos sapatos com maior número de reclamações e a cor com maior número de reclamações não serão mais vendidas.  A loja encaminhou um ofício ao fornecedor dos sapatos, explicando que não serão mais encomendados os sapatos de cor  a) branca e os de número 38.  b) branca e os de número 37.  c) branca e os de número 36.  d) preta e os de número 38.  e) preta e os de núm...

Quantidade de Combinações  O que é combinação na linguagem matemática : Denominamos combinações de n elementos distintos tomados k a k aos conjuntos formadas de k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados.  Importante ressaltar que nas combinações a ordem dos elementos não importa, para a contagem. Para entender essa diferença, vamos comparar as situações 1 e 2:  1 — Formar os arranjos dos algarismos distintos 1,3, 5 e 7 tomados 3 a 3:  Solução : Os arranjos são as sucessões de três algarismos distintos escolhidos entre os algarismos dados: Neste exemplo, todas as variações possíveis a partir dos 4 elementos foram consideradas, ou seja, a ordem em que cada sucessão foi agrupada importa para a contagem final. Logo, temos 24 arranjos possíveis.  2 — Formar as combinações dos algarismos distintos 1, 3, 5 e 7 tomados 3 a 3.  Solução : As combinações são os conjuntos de três algarismos distintos escolhidos entre os algarismos dados:  {1, 3...