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COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO  Utilizamos a combinação com repetição quando a ordem dos elementos do evento não importa, porém, podemos escolher cada elemento mais de uma vez.  Definição.  Considere um conjunto de n elementos diferentes.  Denominamos por combinação com repetição de n elementos diferentes tomados p a p a todo agrupamento formado por p elementos, iguais ou distintos, escolhidos dentre os n  elementos dados, de modo que a ordem dos elementos não modifique a combinação. Exemplo :  Uma loja decide sortear para os clientes 3 pares de sapatos das 10 melhores marcas do mercado. De quantas formas o ganhador do prêmio pode escolher os três pares de sapatos da lista das 10 melhores marcas, sendo permitidas repetições?  Resolução.  Temos os seguintes dados:  • n: 10 marcas;  • p: 3 pares de sapatos. ATIVIDADES  01 – Determinar o número de combinações com repetição de 4 objetos tomados 2 a 2.  02 – Um supermercado...

ATIVIDADES Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será necessário escrever algebricamente o conjunto que representa os pontos desse gráfico. Esse conjunto é dado pelos pares ordenados (x,y) ∈ ℕ x ℕ , tais que A) 0 ≤ x ≤ y ≤ 10.  B) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.  C) 0 ≤ x ≤ 10,0 ≤ y ≤ 10.  D) 0 ≤ x+y ≤ 10.  E) 0 ≤ x+y ≤ 20.  02 - (SIMAVE) A figura mostra parte de um mapa da cidade de Ubá. 03 - (SIMAVE) Paulo fez uma viagem de 300 km em seu carro, gastando 6 horas, da seguinte forma: • Primeiro, andou 120 km à velocidade de 60 km/h,  • depois parou por uma hora e meia,  • andou mais 80 km à velocidade de 80 km/h,  • parou por meia hora, e  • fez o restante do percurso à velocidade de 100 km/h. O gráfico que representa o deslocamento do carro de Paulo em função do tempo é 05 - (Enem – 2016) Uma empresa farmacêutica fez um estudo da eficácia (em porcentagem) de um medicamento durante 12 h de tratamento em um paciente. O medicamento foi ad...

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO   ATIVIDADES  01 – Quantos anagramas têm as palavras:  a) MACA.  b) ARITMÉTICA.  c) PARALELEPÍPEDO.  02 – Determine, em cada caso, a quantidade de números distintos que podemos obter permutando os algarismos que formam os seguintes números:  a) 45 241.  b) 654 254.  c) 154 445.  03 – Os 10 primeiros algarismos que formam o número π (desconsiderando a vírgula) na ordem em que aparecem, formam o número 3141592653. Quantos são os números distintos que podemos formar por meio de permutações destes 10 algarismos?  04 – De quantas maneiras oito pessoas podem se organizar em uma roda para fazer uma oração?  05 – De quantas maneiras sete crianças podem se organizar para brincar de roda?

EQUAÇÃO DA RETA  Num sistema de coordenadas cartesianas, toda equação de primeiro grau nas variáveis x e y é representada por uma reta. Podemos representar uma reta no plano cartesiano por meio da condição geométrica ou por uma equação matemática. Em relação à equação matemática, a reta pode ser escrita nas seguintes formas: reduzida, segmentária, geral ou paramétrica. Vamos abordar a representação de uma equação reduzida da reta, que é da forma:  ATIVIDADES  01 – Determine a equação da reta que passa pelos pontos A e B, em cada caso.  A) A(2, -1) e B(-1, 0).  B) A(5, 2) e B(-3, 1).  C) A(0, -4) e B(2, -2).

Combinações 02 – (Banco do Simave) Cada situação abaixo envolve agrupamentos que podem ou não ser distinguíveis pela ordem de seus elementos. Classifique com S o agrupamento que se altera ao modificar a ordem de seus elementos e, em caso contrário, com N.  I. Formar números inteiros positivos de quatro algarismos distintos.  II. Escolher duas calças entre 12 calças de cores diferentes.  A classificação correta é  A) I: S e II: N.  B) I: S e II: S.  C) I: N e II: N.  D) I: N e II: S.  03 – (Banco do Simave) Considere os três problemas seguintes.  • Problema I: Com os 10 trabalhadores de uma fábrica, quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas?  • Problema II: Usando-se 8 pessoas, quantas filas com 5 pessoas podem ser formadas?  • Problema III: Quantos números com 3 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos de 1 a 9?  Em quais desses problemas os agrupamentos considerados são di...

Prismas são poliedros, nos quais duas faces poligonais, chamadas de bases, são congruentes e se situam em planos paralelos e, as demais faces, chamadas de faces laterais, são paralelogramos.  Um critério que nos permite classificar os prismas é considerar o polígono que determina suas bases. Veja alguns exemplos: Prisma reto : as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.  Prisma oblíquo : as arestas laterais não são perpendiculares aos planos das bases.  Um prisma reto cujas bases são superfícies poligonais regulares é denominado prisma regular.  Todo prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo.  A diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujas extremidades são vértices desse paralelepípedo que não pertencem a mesma face.  Observe, abaixo, um paralelepípedo reto retângulo , ou seja, um paralelepípedo que possui arestas laterais perpendiculares aos planos das bases e as bases são retângulos. ATIVIDADES  01 – (EN...

SIMETRIA NO PLANO CARTESIANO  Dois pontos são simétricos em relação ao eixo x quando um é a reflexão do outro em relação a esse eixo, ou, dito de outra maneira, quando possuem abscissas iguais e ordenadas simétricas.  Por exemplo, o simétrico do ponto (2, 1) em relação ao eixo x é o ponto (2, -1).  Dois pontos são simétricos em relação ao eixo y quando um é a reflexão do outro em relação a esse eixo, ou, dito de outra maneira, quando possuem ordenadas iguais e abscissas simétricas.  Por exemplo, o simétrico do ponto (4, 5) em relação ao eixo y é o ponto (-4, 5).  Exemplo 1  (SIMAVE) Na figura apresentada a seguir, sabe-se que o ponto A tem coordenadas (3, 1) e que os triângulos OAB e OA’B’ são simétricos em relação ao eixo y. Quais são as coordenadas do ponto A’ ? Resolução .  Como o eixo de simetria é o eixo y, a ordenada do ponto A’, simétrico ao ponto A em relação ao eixo das ordenadas, é a mesma do ponto A, enquanto a abscissa do ponto A’ é simétri...

Dado um conjunto de n elementos, chama-se permutação simples dos n elementos qualquer sequência (agrupamento ordenado) desses n elementos.  Quantidade de Permutações  Nas aplicações, geralmente estamos interessados na quantidade de permutações que podem ser feitas com determinados elementos. Para isso, nem sempre é viável que listemos uma por uma como feito acima. Então, como podemos proceder?  Exemplo: ATIVIDADES  01 – Determine o número de permutações que podem ser feitas com as letras de cada palavra a seguir.  a) ESCOLA  b) CINEMA  c) LIVRO  02 – Considerando os anagramas da palavra BANCO,  a) quantos começam por vogal?  b) quantos começam por vogal e terminam por consoante?  c) quantos começam e terminam por consoante?  d) quantos apresentam as vogais AO juntas nesta ordem?  e) quantos apresentam as vogais juntas, porém em qualquer ordem? 03 – Quantos são os arranjos de 7 elementos, tomados 4 a 4? 05 – (Banco do Simav...

Para começar, é importante diferenciar os tipos de sólidos geométricos.  • Corpos redondos: sólidos geométricos que possuem, pelo menos, uma superfície com forma curva e tem a característica de rolar ao ser colocado em determinada posição sobre um plano inclinado.  Ao seccionar um corpo redondo por um plano é possível obter um círculo na região do corte.  Exemplos de corpos redondos: cone, cilindro e esfera.  • Poliedros: sólidos geométricos cujas superfícies são planas e poligonais.  Ao seccionar um poliedro por um plano obtemos sempre um polígono na região do corte.  Exemplos de poliedros: pirâmide, prisma e octaedro.  Para os estudos dessa semana, vamos conhecer e estabelecer relação entre os elementos de um poliedro:  • Face: cada uma das superfícies poligonais que compõem a superfície do poliedro;  • Aresta: lado comum a duas faces do poliedro;  • Vértice: ponto comum a três ou mais arestas do poliedro. A palavra poliedro , de orige...