1º Ano Ensino Médio - Noturno - Álgebra

Recordando conceitos 

Pense na seguinte pergunta: Um número somado a 5 é igual a 12, que número é esse?

x + 5 = 12 

Sempre existe uma única resposta para um problema matemático? 

O que pode acontecer para que uma pergunta tenha mais de uma resposta?

Esta pergunta pode ter mais de uma resposta? 

Vamos pensar agora em outra situação. 

Dois números somados resultam 10, em quantas respostas você consegue pensar? 

Esta situação, você responderia o mesmo para as questões: 

Sempre existe uma única resposta para um problema matemático? 

O que pode acontecer para que uma pergunta tenha mais de uma resposta? 

Esta pergunta pode ter mais de uma resposta? 

Assim, temos que uma equação linear de duas incógnitas possui infinitas soluções e, por isso, pode representar diversos resultados, dependendo da situação proposta. Veja o exemplo a seguir. 

(ENEM 2017) Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes, somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu armazenar 10 minutos de vídeo e 190 fotos. Já na segunda, foi possível realizar 15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos. Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as fotos. Agora, essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória exclusivamente fotos, com a mesma qualidade das anteriores. 

O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é: 

Seja x a memória ocupada por um minuto de vídeo e y a memória ocupada por uma foto. 

Logo: 10x + 190y = 15x + 150y. Sendo x=8y Logo, a capacidade total do disco é 10 . 8y + 190y = 270y e, assim, o resultado é 270. 

Disponível em: www.techlider.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012. 

Que tal você praticar um pouco? 

1 — Escreva uma equação para cada uma das situações apresentadas e duas possíveis soluções em cada caso. 

a) Um número mais o dobro de outro é 12. Quais são esses números? 

b) Uma mãe reparte entre seus dois filhos o valor de R$ 5000,00. Quanto ela dá para cada um de seus filhos?

c) Dois ângulos são suplementares. Quanto mede cada ângulo? 

2 — Em um estacionamento há motos e carros. No total podemos contar 78 rodas. Responda: 

a) É possível que haja 20 carros? Por quê? 

b) É possível que haja 10 motos? Porquê? 

c) Quantos carros e quantas motos há no estacionamento? 

3 — (ENEM 2015) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu R$ 100,00. 

Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo? 

a) 30 

b) 36 

c) 50 

d) 60 

e) 64 

Agora vamos avançar um pouco mais! 

Você sabia que uma equação linear com duas incógnitas é representada graficamente por uma reta? 

Vamos praticar um pouco na construção das soluções das equações lineares por meio de tabelas e gráficos? 

Exemplo: Represente em uma tabela algumas soluções que satisfaçam a equação x + y = 2 e, depois, represente os pares ordenados no plano cartesiano. Solução: A equação x + y = 2 pode ser escrita como y = x + 2.

4 — Determine 5 pares ordenados que satisfazem cada equação abaixo (use tabelas como no exemplo acima, para encontrar os pares). 

a) 2x + y = 6 

b) x + y = 7 

c) 7x + y = 11 

d) 0,5x — y = 7 

5 — No plano cartesiano abaixo, está representada uma reta.

Responda: 

a) Quais as coordenadas dos pontos em que a reta corta os eixos X e Y? 

b) Determine a equação da reta na forma ax + by = c, e depois escreva a equação na forma y = mx + n. 

c) Quantas soluções tem a equação? Determine, pelo menos, 4 pares ordenados de pontos que pertençam à reta. 

Reflita sobre as atividades. Qual a dificuldade que você encontrou para representar uma equação linear, com coeficientes a, b e c reais e duas incógnitas? Se houve dificuldade, conseguiu superá-la? Nesse caso, quais estratégias utilizou?

Recordando conceitos sobre os sistemas de equações lineares com duas incógnitas.

Vamos ver algumas aplicações. 

Exemplo: Maria fabrica bombons de chocolate para vender. Para comprar todos os ingredientes, ela possui R$ 450,00. Os ingredientes essenciais para fabricar um bombom grande custam R$ 5,00 e para fabricar um bombom pequeno, R$ 3,00. Maria planeja fabricar 100 bombons. Qual é o sistema de equações que modela a situação descrita? Resolva esse sistema.